题目内容

如图,在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=1,点M,N分别是AB,BC的中点,点P是△ABC(包括边界)内任一点.则
AN
MP
的取值范围为______.
以C为坐标原点,CA边所在直线为x轴,建立直角坐标系,
则A(1,0),B(0,1),
设P(x,y),
x≥0
y≥0
x+y-1≤0

AN
=(-1,
1
2
),
MP
=(x-
1
2
,y-
1
2

AN
MP
=-x+
1
2
y+
1
4

t=-x+
1
2
y+
1
4
,结合线性规划知识,
y=2x+2t-
1
2

当直线t=-x+
1
2
y+
1
4
经过点A(1,0)时,
AN
MP
有最小值,
将(1,0)代入得t=-
3
4

当直线t=-x+
1
2
y+
1
4
经过点B时,
AN
MP
有最大值,
将(0,1)代入得t=
3
4

故答案为[-
3
4
3
4
].
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