Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈[0，

1

2

]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=4．
（I） 求f(

1

2

)及f(

1

4

)；
（II） 证明f（x）是周期函数；
（Ⅲ）若对任意x∈[0，

1

2

]，都有f（x）＞1，证明函数f（x）在[0，

1

2

]上为增函数．

Answer 1

分析：（I）由已知中对任意x1，x2∈[0，

1

2

]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=4．我们先令x₁=x₂=

1

2

，求出f（

1

2

），再令x₁=x₂=

1

4

，即可求出f(

1

4

)；
（II）由已知中f（x）的图象关于直线x=1对称，且f（x）是定义在R上的偶函数，故f（x）=（2-x），且f（-x）=f（x），进而可得f（x）=f（2+x），即证出函数f（x）是周期为2的周期函数；
（Ⅲ）由对任意x∈[0，

1

2

]，都有f（x）＞1，设任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]，且x₁＜x₂，令x₂-x₁=a，则0＜a＜

1

2

，根据对任意x1，x2∈[0，

1

2

]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），易证得

f(x2)

f(x1)

=f(a)＞1．进而根据函数单调性的定义得到答案．

解答：解：（I）∵x₁，x₂∈[0，

1

2

]都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），
∴f（x）=f（

x

2

）f（

x

2

）≥0，x∈[0，1]
f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）•f（

1

2

）=[f（

1

2

）]²
f（

1

2

）=f（

1

4

+

1

4

）=f（

1

4

）•f（

1

4

）=[f（

1

4

）]²，f（1）=4，
∴f(

1

2

)=2，f(

1

4

)=

2

．（注：在[0，

1

2

]上f(x)=[f(

x

2

)]2≥0）…（4分）
证明：（II）依题设y=f（x）关于直线x=1对称，
∴f（x）=f（2-x），
∴f（-x）=f（2+x）         …（6分）
又∵f（-x）=f（x），
∴f（x）=f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）=f（2+x），…（8分）
∴f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．…（10分）
（Ⅲ）设任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]，且x₁＜x₂，令x₂-x₁=a，则0＜a＜

1

2

，
∴f（x₂）=f（x₁+a）=f（x₁）•f（a）…（13分）
∴

f(x2)

f(x1)

=f(a)
又∵对任意x∈[0，

1

2

]，都有f（x）＞1，
∴f（a）＞1
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在[0，

1

2

]上单调增．…（16分）

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的单调性的判断与证明，函数的奇偶性的性质，函数的值，是函数问题的综合应用，由于题目中并未给函数的解析式，故要用到抽象函数的处理方法进行解答，属中档题．