Question

【题目】已知数列满足,且.

（1）当时,写出的通项公式（直接写出答案,无需过程）;

（2）求最小整数,使得当时, 是单调递增数列;

（3）是否存在使得是等比数列？若存在请求出;若不存在请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）写出几项，归纳即得，（2）先计算归纳可得当时, 是单调递增数列.再根据数学归纳法给以证明，（3）根据计算可得时, 不是等比数列.再证时 , 也不是等比数列.

试题解析：（1）

（2）当时, ,,,不单调递增；

当时,由（1）知不单调递增；

当时, ,,,不单调递增；

当时, ,,,

当时, ,,,

由此猜测当时, 是单调递增数列.

下面用数学归纳法证明一个更强得猜想:当时,

当时,猜想成立；

假设当时,猜想成立,即,

当时,因为,所以,

即时,猜想扔成立.

由,及数学归纳法知,当时, ,

此时因为,所以,所以,

由此当时, 是单调递增数列.

（3）由（2）知, 时, 不是等比数列.

当时, ,因此,

可求出通项公式为,所以不存在使得是等比数列