题目内容
17．设a1∈（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1），a2=1+$\frac{2}{{a}_{1}+1}$．（1）证明：$\sqrt{3}$介于a1，a2之间；
（2）判断a1，a2中哪一个更接近$\sqrt{3}$；
（3）用a1或a2设计a3接近$\sqrt{3}$（不必证明）．
分析 （1）证明：（$\sqrt{3}$-a1）（$\sqrt{3}$-a2）＜0即可；
（2）证明：|$\sqrt{3}$-a2|＜|$\sqrt{3}$-a1|即可；
（3）a3=1+$\frac{2}{1+{a}_{2}}$，a3比a2接近$\sqrt{3}$．
解答 （1）证明：（$\sqrt{3}$-a1）（$\sqrt{3}$-a2）=（$\sqrt{3}$-a1）（$\sqrt{3}$-1-$\frac{2}{{a}_{1}+1}$）=$\frac{（1-\sqrt{3}）（\sqrt{3}-{a}_{1}）^{2}}{1+{a}_{1}}$＜0，
∴$\sqrt{3}$介于a1，a2之间；
（2）解：|$\sqrt{3}$-a2|=|$\sqrt{3}$-1-$\frac{2}{{a}_{1}+1}$|=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+{a}_{1}}$|$\sqrt{3}$-a1|＜|$\sqrt{3}$-a1|
∴a2比a1更接近$\sqrt{3}$；
（3）解：a3=1+$\frac{2}{1+{a}_{2}}$，∴a3比a2接近$\sqrt{3}$．
点评 本题考查作查法比较大小，考查学生的计算能力，属于中档题．
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