Question

13．已知0＜a＜1，给出下列四个关于自变量x的函数：
①y=log_xa，②y=log_ax²，③y=（log${\;}_{\frac{1}{a}}$x）³④y=（log${\;}_{\frac{1}{a}}$x）${\;}^{\frac{1}{2}}$，其中在定义域内是增函数的有③④．

Answer 1

分析 可换底公式换成以a为底的对数，然后根据对数函数的单调性，增函数定义，以及复合函数单调性的判断即可判断每个函数在定义域内的单调性，从而找出在定义域内为增函数的函数．

解答 解：①$y=lo{g}_{x}a=\frac{1}{lo{g}_{a}x}$，定义域为{x|x＞0，且x≠1}；
当x从左边趋向1时，y趋向负无穷，x从右边趋向1时，y趋向正无穷；
0＜a＜1；
∴x∈（0，1），和x∈（1，+∞）时，该函数都是增函数；
∴该函数在定义域内没有单调性；
②0＜a＜1；
∴该函数在x∈（-∞，0）时为增函数，在x∈（0，+∞）时为减函数；
∴该函数在定义域内没有单调性；
③$\frac{1}{a}＞1$；
∴$y=lo{g}_{\frac{1}{a}}x$在（0，+∞）上为增函数；
∴$y=（lo{g}_{\frac{1}{a}}x）^{3}$在（0，+∞）上为增函数；
④解$lo{g}_{\frac{1}{a}}x≥0$得，x≥1；
$y=lo{g}_{\frac{1}{a}}x$在[1，+∞）上为增函数；
∴$y=（lo{g}_{\frac{1}{2}}x）^{\frac{1}{2}}$在[1，+∞）上为增函数；
∴定义域内为增函数的为③④．
故答案为：③④．

点评 考查对数的换底公式，对数函数的单调性，以及复合函数的单调性，及增函数的定义．