Question

19．若x，y，z均为正实数，则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{xz+yz}$的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意和基本不等式可得x²+y²+z²=（x²+$\frac{1}{2}$z²）+（y²+$\frac{1}{2}$z²）≥$\sqrt{2}$（xz+yz），变形可得答案．

解答 解：∵x，y，z均为正实数，
∴x²+y²+z²=（x²+$\frac{1}{2}$z²）+（y²+$\frac{1}{2}$z²）
≥2•x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$z+2•y•$\frac{\sqrt{2}}{2}$z=$\sqrt{2}$（xz+yz），
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{xz+yz}$≥$\frac{\sqrt{2}（xy+yz）}{xz+yz}$=$\sqrt{2}$
当且仅当x=y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$z时取等号，
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{xz+yz}$的最小值为$\sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，变形是解决问题的关键，属中档题．