Question

【题目】如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点．

（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（3）设SA=4，AB=2，当OE丄SC时，求二面角E﹣BD﹣C余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵SA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，

∴SA⊥BD，

∵四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，∴BD⊥AC，

∵AC∩SA=A，

∴BD⊥平面SAC，

∵BD平面EBD，

∴平面EBD⊥平面SAC．

（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），S（0，0，4），

=（0，0，﹣4）， =（2，0，﹣4）， =（0，2，﹣4），

设平面SBD的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（2，2，1），

∴得点A到平面SBD的距离为d= ．

（3）解：∵SA=4，AB=2，OE丄SC，

∴A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），S（0，0，4），O（1，1，0），设E（a，a，c），

=（2，2，﹣4）， =（a﹣1，a﹣1，c），

∴ ，解得a= ，c= ，∴E（ ），

=（﹣2，2，0）， =（﹣ ， ， ），

设平面BDE的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，1，2），

平面BDC的法向量 =（0，0，1），

设二面角E﹣BD﹣C的平面角为θ，

则cosθ= = = ，

∴二面角E﹣BD﹣C余弦值为 ．

【解析】（1）推导出SA⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面SAC，由此能证明平面EBD⊥平面SAC．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出得点A到平面SBD的距离．（3）求出平面BDE的法向量和平面BDC的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣BD﹣C余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．