题目内容
【题目】已知抛物线 的焦点为
,其准线与
轴交于点
,过
作斜率为
的直线
与抛物线交于
两点,弦
的中点为
的垂直平分线与
轴交于
.
(1)求 的取值范围;
(2)求证: .
【答案】
(1)由y2=-4x,可得准线x=1,
从而M(1,0).
设l的方程为y=k(x-1),联立
得k2x2-2(k2-2)x+k2=0.
∵A,B存在,∴Δ=4(k2-2)2-4k2>0,
∴-1<k<1.又k≠0,
∴k∈(-1,0)∪(0,1).
(2)设P(x3,y3),A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x3= ,y3=k(
-1)=-
=-
.
即直线PE的方程为y+ =-
(x-
).
令y=0,x0=- -1.
∵k2∈(0,1),∴x0<-3.
【解析】(1)根据抛物线方程求出其准线方程,再联立抛物线方程和直线方程得出关于x的方程式,最终确定k的取值范围。
(2)根据已知条件求出k与x0的关系,再由k的范围确定x0的范围即可。
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