Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]

设f（x）=|ax﹣1|．
（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）显然a≠0，
当a＞0时，解集为 ， ，无解；
当a＜0时，解集为 ，
令 ， ，
综上所述， ．
（Ⅱ） 当a=2时，
令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）
=|4x+1|﹣|2x﹣3|
=
由此可知，h（x）在 单调减，在 单调增，在 单调增，
则当 时，h（x）取到最小值 ，
由题意知， ，则实数m的取值范围是
【解析】（Ⅰ）通过讨论a的符号，求出a的值即可；（Ⅱ）令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1），通过讨论x的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．