Question

已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项和，对于，总有成等差数列.
(I )求数列{a_n}的通项a_n；
(II)设数列的前n项和为T_n,数列{T_n}的前n项和为R_n,求证：时，；
(III)对任意，试比较与的大小

Answer 1

（I）a_n=1+(n-1)·1="n" (n∈N^*)．（2）略 （3）

(I )由条件得，递写相减得a_n+1-a_n=1，由等差数列求得通项；(II)求出两边表达式证明相等；(III)数学归纳法或不等式证明。
解：（I）由题意，得（n∈N*）．
于是，
两式相减，得，
即a_n+1+a_n=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n)，
由题，a_n>0，a_n+1+a_n≠0，
得a_n+1-a_n=1，即{a_n}为公差为1的等差数列．
又由，得a₁=1或a₁=0（舍去）．
∴ a_n=1+(n-1)·1="n" (n∈N^*)．……………………………………………5分
（II）证法一：由（I）知，于是，
于是当n≥2时，
=
=
=
==n(T_n-1).   ……………………………10分
法二：①当n=2时，R₁=T₁==1，2(T₂-1)=2(=1，
∴ n=2时，等式成立．
②假设n=k（k≥2）时，等式成立，即，
当n=k+1时，
==  = 
==  =．
∴ 当n=k+1时，等式也成立．
综合①②知，原等式对n≥2，n∈N*均成立．  …………………………10分
（III）由（I）知，．
由分析法易知，，
当k≥2时，
，∴

．即．