Question

【题目】在多面体中，四边形是正方形，平面，，，为的中点.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）首先证明，，，∴平面.即可得到平面，.

（2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，带入公式求解即可.

（1）∵平面，平面，∴.

又∵四边形是正方形，∴.

∵，∴平面.

∵平面，∴.

又∵，为的中点，∴.

∵，∴平面.

∵平面，∴.

（2）∵平面，，∴平面.

以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

如图所示：

则，，，.

∴，，.

设为平面的法向量，

则，得，

令，则.

由题意知为平面的一个法向量，

∴，

∴平面与平面所成角的正弦值为.