Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=

2

PC=

2

AC=

2

BC．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC； 
（Ⅱ）求二面角P-AB-C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）【法一】取PA中点M，连接CM、BM，利用等腰三角形的性质，可得CM⊥PA，BM⊥PA，从而可得PA⊥平面BMC，故PA⊥BC；【法二】确定△ACB、△ACP、△BCP都是等腰直角三角形，CA、CB、CP两两垂直，从而可得BC⊥平面ACP，故PA⊥BC；
（Ⅱ）取AB中点H，连接CH、PH，则∠PHC就是二面角P-AB-C的平面角，证明∠PCH=90°，即可求得二面角P-AB-C所成角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：【法一】如图，取PA中点M，连接CM、BM．
∵PC=AC，PB=AB，∴CM⊥PA，BM⊥PA，…（3分）
又CM∩BM=M，∴PA⊥平面BMC，BC?平面BMC，∴PA⊥BC． …（6分）
【法二】由PA=PB=AB=

2

PC=

2

AC=

2

BC知，△ACB、△ACP、△BCP都是等腰直角三角形，CA、CB、CP两两垂直，…（3分）
∴BC⊥平面ACP，PA?平面ACP，∴PA⊥BC． …（6分）
（Ⅱ）解：取AB中点H，连接CH、PH．
∵AC=BC，PA=PB，∴CH⊥AB，PH⊥AB，
∴∠PHC就是二面角P-AB-C的平面角  …（9分）
∵AB=

2

AC=

2

BC，∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，∴△ACB是等腰直角三角形．
设BC=a，则在△PHC中，CH=

2

2

a，PH=

PB2-BH2

=

( 2 a)2-( 2 2 a)2

=

6

2

a，PC=a，…（12分）
∴PH²=PC²+CH²，∴∠PCH=90°．
在△PCH中，cos∠PHC=

CH

PH

=

3

3

．
∴二面角P-AB-C所成角的余弦值为

3

3

．…（14分）

点评：本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．