Question

5．求值与化简：
（1）cos$\frac{π}{11}$cos$\frac{2π}{11}$cos$\frac{3π}{11}$cos$\frac{4π}{11}$cos$\frac{5π}{11}$
（2）$\frac{1-sinθ+cosθ}{1-sinθ-cosθ}$+$\frac{1-sinθ-cosθ}{1-sinθ+cosθ}$．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角的正弦公式可得cosα=$\frac{sin2α}{2sinα}$，结合诱导公式，即可得到所求值；
（2）运用二倍角的正弦和余弦公式，再由平方关系，化简整理，即可得到所求．

解答 解：（1）原式=$\frac{sin\frac{2π}{11}}{2sin\frac{π}{11}}$•$\frac{sin\frac{4π}{11}}{2sin\frac{2π}{11}}$•$\frac{sin\frac{6π}{11}}{2sin\frac{3π}{11}}$•$\frac{sin\frac{8π}{11}}{2sin\frac{4π}{11}}$•$\frac{sin\frac{10π}{11}}{2sin\frac{5π}{11}}$
=$\frac{1}{32}$•$\frac{sin\frac{5π}{11}•sin\frac{3π}{11}•sin\frac{π}{11}}{sin\frac{π}{11}•sin\frac{3π}{11}•sin\frac{5π}{11}}$=$\frac{1}{32}$；
（2）原式=$\frac{（1+cosθ）-sinθ}{（1-cosθ）-sinθ}$+$\frac{（1-cosθ）-sinθ}{（1+cosθ）-sinθ}$
=$\frac{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{2si{n}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}$+$\frac{2si{n}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}$
=-$\frac{cos\frac{θ}{2}}{sin\frac{θ}{2}}$-$\frac{sin\frac{θ}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$=-$\frac{si{n}^{2}\frac{θ}{2}+co{s}^{2}\frac{θ}{2}}{sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}$=-$\frac{1}{\frac{1}{2}sinθ}$=-$\frac{2}{sinθ}$．

点评 本题考查三角函数的话和求值，考查二倍角公式的运用和同角的基本关系式的运用，考查运算能力，属于中档题．