题目内容
【题目】如图,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数,
的图象,且图象的最高点为
;赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定
.
(1)求点M的坐标;
(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?
【答案】(1) .(2) 将
设计为
时,折线段赛道MNP最长.
【解析】
(1)利用图象分别求得周期和的值,进而求得
最后得到函数解析式,即可求得
的坐标.
(2)设,利用正弦定理表示出
,
,即可表示出
,用两角和差的正弦公式化简,根据三角函数的性质求得最大值.
解:(1)由题意知,
,
∵,∴
,
∴.
当时,
,
∴.
(2)连接MP,如图所示.
又∵,∴
.
在中,
,
.
设,则
,
∵.
∴,
.
∴
.
∵,
∴,
∴.
∴当时,折线段赛道MNP最长.
所以将设计为
时,折线段赛道MNP最长.
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