Question

【题目】设函数=[]．

（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；

（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) a的值为1

(2) a的取值范围是（，+∞）

【解析】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．

详解：解：（Ⅰ）因为=[]，

所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）

=［ax2–（2a+1）x+2］ex．

f ′(1)=(1–a)e．

由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．

此时f (1)=3e≠0．

所以a的值为1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．

若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；

当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．

所以f (x)<0在x=2处取得极小值．

若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，

所以f ′(x)>0．

所以2不是f (x)的极小值点．

综上可知，a的取值范围是（，+∞）．