Question

20．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其棱长为a．
（1）求证：BD₁⊥面AB₁C；
（2）求点B到面AB₁C的距离．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定与性质，证明AC⊥BD₁，AB₁⊥BD₁，即可证得结论；
（2）根据正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，算出三棱锥B₁-ABC的体积为$\frac{1}{6}$a³，正三角形AB₁C的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，由此利用等体积转换得${V}_{三棱锥{B}_{1}-ABC}$=${V}_{{三棱锥B-AB}_{1}C}$=$\frac{1}{6}$a²，建立关于d的等式即可解出B到平面AB₁C的距离．

解答 （1）证明：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
因为AC⊥BD，AC⊥DD₁，且BD∩DD₁
所以AC⊥平面BDD₁B₁
又BD₁?平面BDD₁B₁
所以AC⊥BD₁，同理可证AB₁⊥BD₁，
又因为AC与AB₁是平面ACB₁内的两条相交直线，
所以BD₁⊥平面ACB₁．
（2）解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a
∴三棱锥B₁-ABC的体积为
V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•BB₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a²×a=$\frac{1}{6}$a³．
∵正三角形AB₁C的边长为$\sqrt{2}$a，
∴${S}_{{△AB}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（$\sqrt{2}$a）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²．
设点B到平面AB₁C的距离为d，
则${V}_{三棱锥{B}_{1}-ABC}$=${V}_{{三棱锥B-AB}_{1}C}$=$\frac{1}{6}$a³，
即$\frac{1}{3}$×${S}_{{△AB}_{1}C}$×d=$\frac{1}{5}$a3，得$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²d=$\frac{1}{6}$a³，解之得d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
即点B到平面AB₁C的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

点评 本题考查线面垂直，考查三棱锥体积公式，求点B到平面AB₁C的距离．着重考查了正方体的性质、正三角形面积公式和利用等体积转换的方法求点面距离等知识，属于中档题．