Question

8．证明：$\frac{2}{{3}^{1}-1}$+$\frac{2}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{3}{2}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 当n≥3时，$\frac{2}{{3}^{n}-1}＜\frac{2}{3×{2}^{n}}$，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 证明：∵当n≥3时，$\frac{2}{{3}^{n}-1}＜\frac{2}{3×{2}^{n}}$，
∴当n≥3时，$\frac{2}{{3}^{1}-1}$+$\frac{2}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$＜1+$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}$$（\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$=$\frac{5}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{17}{12}$＜$\frac{18}{12}$=$\frac{3}{2}$．
当n=1，2时，显然成立．
∴$\frac{2}{{3}^{1}-1}$+$\frac{2}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{3}{2}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．