[题目]已知椭圆的中心为原点.离心率,其中一个焦点的坐标为(Ⅰ)求椭圆的标准方程,(Ⅱ)当点在椭圆上运动时.设动点的运动轨迹为若点满足: 其中是上的点.直线的斜率之积为,试说明:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标,若不存在.说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知椭圆的中心为原点，离心率,其中一个焦点的坐标为

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为若点满足: 其中是上的点.直线的斜率之积为,试说明:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析.

【解析】试题分析: (Ⅰ)根据离心率和焦点坐标以及求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)由于点在曲线上运动时,动点的轨迹的方程为,通过可建立点T和点M,N坐标之间的关系式,通过直线的斜率之积为定值,又得到另外一个关系式,且点M,N的坐标满足椭圆的方程,均为二次,因此给两等式分别平方,再对应系数比为1:2,相加即可得到关于x,y的方程,即点T的轨迹为椭圆,两个定点为焦点.

试题解析:(Ⅰ)由题意知, 所以所以

故椭圆的方程为

(Ⅱ)设则

因为点在椭圆上运动，所以

故动点的轨迹的方程为

由得

设分别为直线的斜率，由已知条件知,所以

因为点在椭圆上，所以

故

从而知点是椭圆上的点，所以，存在两个定点且为椭圆的两个焦点，使得为定值.其坐标分别为

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