题目内容
【题目】已知椭圆
的中心为原点
，离心率
,其中一个焦点的坐标为
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）当点
在椭圆
上运动时，设动点
的运动轨迹为
若点
满足: 
其中
是
上的点.直线
的斜率之积为
,试说明:是否存在两个定点
,使得
为定值?若存在,求
的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(Ⅰ) 
(Ⅱ)详见解析.
【解析】试题分析: (Ⅰ)根据离心率和焦点坐标以及
求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)由于点
在曲线
上运动时,动点
的轨迹
的方程为
,通过
可建立点T和点M,N坐标之间的关系式,通过直线
的斜率之积为定值,又得到另外一个关系式,且点M,N的坐标满足椭圆的方程,均为二次,因此给两等式分别平方,再对应系数比为1:2,相加即可得到关于x,y的方程,即点T的轨迹为椭圆,两个定点为焦点.
试题解析:(Ⅰ)由题意知, 
所以
所以
故椭圆
的方程为
(Ⅱ)设
则
因为点
在椭圆
上运动，所以
故动点
的轨迹
的方程为
由
得
设
分别为直线
的斜率，由已知条件知
,所以
因为点
在椭圆
上，所以
故
从而知
点是椭圆
上的点，所以，存在两个定点
且为椭圆
的两个焦点，使得
为定值.其坐标分别为
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