题目内容

16．己知幂函数y=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N*）为偶函数，且在（0，+∞）是减函数，求m的取值集合．

分析 由幂函数f（x）为（0，+∞）上递减，推知m2-2m-3＜0，解得-1＜m＜3因为m为整数故m=0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m2-2m-3为偶数，进而推知m2-2m为奇数，进而推知m的值．

解答 解：∵幂函数f（x）=xm2-2m-3（m∈Z）为偶函数，
且在区间（0，+∞）上是减函数，
∴m2-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3，
∵m∈N*，
∴m=0，1或2，
又∵函数为偶函数，
∴m2-2m-3为偶数，
∴m2-2m为奇数，
∴m=1．

点评 本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要注意幂函数的性质的合理运用．

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