Question

8．已知幂函数f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=$\sqrt{f（x）}$+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由幂函数f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．可得-m²+2m+3＞0，且-m²+2m+3为偶数，解出即可得出．
（2）函数g（x）=$\sqrt{f（x）}$+2x+c=x²+2x+c，g（x）＞2，化为c＞-x²-2x+2=-（x+1）²+3，依题意，c＞[-（x+1）²+3]_max．

解答 解：（1）∵幂函数f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
∴-m²+2m+3＞0，且-m²+2m+3为偶数，
解得m=1，
∴f（x）=x⁴．
（2）函数g（x）=$\sqrt{f（x）}$+2x+c=x²+2x+c，
g（x）＞2，化为c＞-x²-2x+2=-（x+1）²+3≤3．
∵g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，
∴c＞[-（x+1）²+3]_max=3，当且仅当x=-1时取等号．
∴实数c的取值范围是c＞3．

点评 本题考查了幂函数的性质、恒成立问题的等价转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．