题目内容

设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别为M、m,集合A={x|f(x)=x}
(1)若A={1,2},f(0)=2,求M+m的值
(2)若A={1},a≥1,记g(a)=M+m,若g(a)=
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,求a的值.
分析:(1)由f(0)的值和集合A的元素为1,2得到关于a、b、c的三个方程,联立后求出a、b、c的值,然后运用二次函数的单调性求其在区间[-2,2]上的最大值、最小值;
(2)根据集合A只有一个元素1,说明方程f(x)=x有两个相等的实数根,运用根与系数关系把b和c用a表示,再利用二次函数的单调性求出函数f(x)的最值,则g(a)=M+m可求,直接代入g(a)=
135
8
求a的值.
解答:解:(1)由f(0)=2可知c=2,
又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+c=0的两实根.
3=-
b-1
a
2=
2
a
,解得a=1,b=-2.
∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为x∈[-2,2],根据函数图象可知,
当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1;
当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.
所以M+m=11.
(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x1=x2=1,
根据韦达定理得到:
2=-
b-1
a
1=
c
a
,得:a=c,b=-2a+1.
∴f(x)=ax2+bx+c=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2]
其对称轴方程为x=1-
1
2a

又a≥1,故
1
2
≤1-
1
2a
<1

M=f(-2)=9a-2,   m=
4a-1
4a
 
则g(a)=M+m=9a-
1
4a
-1

g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的,由9a-
1
4a
-1=
135
8
,得a=2.
点评:本题考查了二次函数在闭区间上的最值,考查了函数的单调性和单调区间,考查了方程思想,训练了学生的运算能力,此题属中档题.
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