题目内容
设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别为M、m,集合A={x|f(x)=x}
(1)若A={1,2},f(0)=2,求M+m的值
(2)若A={1},a≥1,记g(a)=M+m,若g(a)=
,求a的值.
(1)若A={1,2},f(0)=2,求M+m的值
(2)若A={1},a≥1,记g(a)=M+m,若g(a)=
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分析:(1)由f(0)的值和集合A的元素为1,2得到关于a、b、c的三个方程,联立后求出a、b、c的值,然后运用二次函数的单调性求其在区间[-2,2]上的最大值、最小值;
(2)根据集合A只有一个元素1,说明方程f(x)=x有两个相等的实数根,运用根与系数关系把b和c用a表示,再利用二次函数的单调性求出函数f(x)的最值,则g(a)=M+m可求,直接代入g(a)=
求a的值.
(2)根据集合A只有一个元素1,说明方程f(x)=x有两个相等的实数根,运用根与系数关系把b和c用a表示,再利用二次函数的单调性求出函数f(x)的最值,则g(a)=M+m可求,直接代入g(a)=
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解答:解:(1)由f(0)=2可知c=2,
又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+c=0的两实根.
∴
,解得a=1,b=-2.
∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为x∈[-2,2],根据函数图象可知,
当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1;
当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.
所以M+m=11.
(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x1=x2=1,
根据韦达定理得到:
,得:a=c,b=-2a+1.
∴f(x)=ax2+bx+c=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2]
其对称轴方程为x=1-
又a≥1,故
≤1-
<1
∴M=f(-2)=9a-2, m=
则g(a)=M+m=9a-
-1
g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的,由9a-
-1=
,得a=2.
又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+c=0的两实根.
∴
|
∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为x∈[-2,2],根据函数图象可知,
当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1;
当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.
所以M+m=11.
(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x1=x2=1,
根据韦达定理得到:
|
∴f(x)=ax2+bx+c=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2]
其对称轴方程为x=1-
1 |
2a |
又a≥1,故
1 |
2 |
1 |
2a |
∴M=f(-2)=9a-2, m=
4a-1 |
4a |
则g(a)=M+m=9a-
1 |
4a |
g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的,由9a-
1 |
4a |
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点评:本题考查了二次函数在闭区间上的最值,考查了函数的单调性和单调区间,考查了方程思想,训练了学生的运算能力,此题属中档题.

练习册系列答案
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设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1、x2满足0<x1<x2<
,且函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,则有( )
1 |
a |
A、x0≤
| ||
B、x0>
| ||
C、x0<
| ||
D、x0≥
|