题目内容
【题目】已知椭圆E: 的左焦点为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆E交于
两点,与
的交点为
,且满足.
①若,求:
的值;
②设点是椭圆E的左顶点,点
关于
轴的对称点为点
,试探究:在线段
上是否存在一个定点
,使得直线
过定点
,如果存在,求出点
的坐标;如果不存在,请说明理由。
【答案】(1);(2)①
②故存在
使得直线
过定点
。
【解析】试题分析:(1)由点在椭圆上及焦点坐标,利用定义,可得
,进而得方程;
(2)①设,
,直线
与椭圆联立得:
,由
得
,进而利用韦达定理求解即可;
②假设存在使得直线
过定点
。则
,由
,利用坐标表示,结合韦达定理求解即可.
试题解析:
(Ⅰ)因为焦点为,
,又椭圆过
,
取椭圆的右焦点,
,由
得
,
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)①设,
,
因为直线与椭圆
交于
两点,
由得:
得,
,(1)
(2)
由(1)(2)解得:
符合
,所以
,
解得,
②假设存在使得直线
过定点
。则
则
又,
即
因为,
,
即得:
故存在使得直线
过定点
。
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