题目内容
【题目】如图，多面体
中，平面
平面
，
，
四边形
为平行四边形.
（1）证明：
；
（2）若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先通过平面
平面
得到
，再结合
，可得
平面
，进而可得结论；
（2）取
的中点
，
的中点
，连接
，
，以点为坐标原点，分别以
，，为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量以及平面
的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.
解：（1）因为平面平面，交线为，又
，
所以
平面
，
，又，
，
则平面，
平面，
所以，
；
（2）取的中点，的中点，连接，，则
平面，
平面；
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
已知
，则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
设平面的一个法向量
，
由
得
令
，则
，
，
即
；
平面的一个法向量为
；
.
所以二面角
的余弦值为.
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