题目内容

【题目】已知椭圆 +y2=1,A,B,C,D为椭圆上四个动点,且AC,BD相交于原点O,设A(x1 , y1),B(x2 , y2)满足 =
(1)求证: + =
(2)kAB+kBC的值是否为定值,若是,请求出此定值,并求出四边形ABCD面积的最大值,否则,请说明理由.

【答案】
(1)证明:分别连接AB、BC、CD、AD,∵AC、BD相交于原点O,

根据椭圆的对称性可知,AC、BD互相平分,且原点O为它们的中点.

则四边形ABCD为平行四边形,故 ,即


(2)解:∵ = ,∴4y1y2=x1x2

若直线AB的斜率不存在(或AB的斜率为0时),不满足4y1y2=x1x2

直线AB的斜率存在且不为0时,设直线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

联立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.

△=(8km)2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=16(4k2﹣m2+1)>0,①

∵4y1y2=x1x2,又

整理得:k=

∵A、B、C、D的位置可以轮换,∴AB、BC的斜率一个是 ,另一个就是-

∴kAB+kBC= - =0,是定值.

不妨设 ,则

设原点到直线AB的距离为d,则

= ≤1.

当m2=1时满足①取等号.

∴S四边形ABCD=4SAOB≤4,即四边形ABCD面积的最大值为4


【解析】(1)由题意可得四边形ABCD为平行四边形,故 ,即 + = ;(2)由 = ,得4y1y2=x1x2 , 若直线AB的斜率不存在(或AB的斜率为0时),不满足4y1y2=x1x2;当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线方程为y=kx+m,A(x1 , y1),B(x2 , y2).联立直线方程和椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求得A,B的横坐标的和与积,结合4y1y2=x1x2求得k,把三角形AOB的面积化为关于m的函数,利用基本不等式求其最值,进一步得到四边形ABCD面积的最大值.

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