题目内容
【题目】已知抛物线的焦点坐标为
(1)求抛物线方程;
(2)过直线上一点
作抛物线的切线切点为A,B
①设直线PA、AB、PB的斜率分别为,求证:
成等差数列;
②若以切点B为圆心r为半径的圆与抛物线C交于D,E两点且D,E关于直线AB对称,求点P横坐标的取值范围.
【答案】(1);(2)①证明见解析;②
.
【解析】
(1)根据焦点求出p即可写出抛物线方程;(2)①设,利用导数的几何意义用
、
表示出
、
,再用
、
表示出
,由
即可证明;②求出直线AP、直线BP的方程,联立求出两直线的交点坐标P,由点P在直线
上进一步化简直线AP的方程,联立抛物线方程与直线DE的方程得到关于x的一元二次方程,根据题意
,再由点H在直线AB上将不等式转化为关于t的不等式求解即可.
(1)由题意知,
,抛物线方程为
;
(2)①设,
因为,
,所以
,所以
,
,
则,
,
所以,即
成等差数列.
②直线AP的方程为,
同理直线BP的方程为,
则两直线的交点坐标,
代入直线,得
①,
直线AB的方程为,
①式代入上式可得,
因为,所以直线AB的方程为
,
1)若则抛物线
上不存在两点关于直线AB对称,
2)若,设
为抛物线上关于直线AB对称的两点,
此时
设DE方程为,DE与直线AB交于点
,
,
,
,
所以,
,
因为H点在直线AB上,
所以代入
式得
,解得
.
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