题目内容
【题目】记无穷数列的前n项
,
,…,
的最大项为
,第n项之后的各项
,
,…的最小项为
,
.
(1)若数列的通项公式为
,写出
,
,
;
(2)若数列的通项公式为
,判断
是否为等差数列,若是,求出公差;若不是,请说明理由;
(3)若数列为公差大于零的等差数列,求证:
是等差数列.
【答案】(1),
,
分别为
;(2)是等差数列,公差
;(3)详见解析.
【解析】
(1)把代入通项公式,根据
可求
,
,
;
(2)先求出的通项公式,然后进行判定;
(3)设出的通项公式,结合数列的单调性进行证明.
(1)由题知数列的通项公式为
,
可知,
,
,
且当
时是单调递增数列,
所以,
,
,
所以,
,
分别为
.
(2)由题知数列的通项公式为
,
所以数列是单调递减的数列,且
,
由题知,
,
因为,
故数列是单调递增数列,
所以当时,
,
,
故,
所以数列的通项公式是
,
即数列是等差数列,公差
.
(3)由题知数列为公差大于零的等差数列,
故设且公差
,
当时,有
,
整理得,
若,则有
,
故,
因为,所以当
时
,
当时
,
类似的可以证明,
因为,
故有,
故数列是单调递增数列,
所以当时,
,
,
故,
所以数列的通项公式是
,
即数列是等差数列,公差为
.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】2020年春季,某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车,现有两款车型,根据以往这两种出租车车型的数据,得到两款出租车车型使用寿命频数表如下:
使用寿命年数 | 5年 | 6年 | 7年 | 8年 | 总计 |
| 10 | 20 | 45 | 25 | 100 |
| 15 | 35 | 40 | 10 | 100 |
(1)填写下表,并判断是否有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关?
使用寿命不高于 | 使用寿命不低于 | 总计 | |
| |||
| |||
总计 |
(2)司机师傅小李准备在一辆开了年的
型车和一辆开了
年的
型车中选择,为了尽最大可能实现
年内(含
年)不换车,试通过计算说明,他应如何选择.
附:,
.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |