题目内容
已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求正三棱柱的侧棱长；
（2）若M为BC1的中点，试用基向量
| AA1 |
| AB |
| AC |
| AM |
（3）求异面直线AM与BC所成角．
分析：（1）利用坐标表示点，进而表示向量，借助于AB1⊥BC1，可建立方程，从而可求正三棱柱的侧棱长；
（2）利用M为BC1的中点，可得
=
(
+
)，从而可解；
（3）先求
，
的坐标，利用其数量积，可求异面直线AM与BC所成角．
（2）利用M为BC1的中点，可得
| AM |
| 1 |
| 2 |
| AC1 |
| AB |
（3）先求
| BC |
| AM |
解答：解：（1）设侧棱长为b，则A（0，-1，0），B1（
，0，b），B（
，0，0），C1（0，1，b）
={
，1，b}，
={-
，1，b} …3 分
∵AB1⊥BC1∴-3+1+b2=0，b=
…（5分）
（2）∵M为BC1的中点，
∴
=
(
+
) =
(
+
+
)…（8分）
（3）设异面直线AM与BC所成角为α，
=(-
，1，0)，
=(
，
，
)…（10分）
•
=-
+
+0=0，∴α=90°…（12分）
| 3 |
| 3 |
| AB1 |
| 3 |
| BC1 |
| 3 |
∵AB1⊥BC1∴-3+1+b2=0，b=
| 2 |
（2）∵M为BC1的中点，
∴
| AM |
| 1 |
| 2 |
| AC1 |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| AA1 |
| AB |
| AC |
（3）设异面直线AM与BC所成角为α，
| BC |
| 3 |
| AM |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| BC |
| AM |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题的考点是用空间向量求直线间的夹角与距离，主要考查用坐标表示向量，考查异面直线AM与BC所成角，关键是用坐标表示向量
练习册系列答案
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