Question

15．已知在极坐标系中，曲线C₁：2ρcosθ=1与曲线C₂：ρ=2cosθ，
（1）求出曲线C₁与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求出曲线C₁与曲线C₂的相交的弦长．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可得出；
（2）曲线C₁与曲线C₂的方程联立解出交点坐标即可得出．

解答 解：（1）∵曲线C₁：2ρcosθ=1，
∴2x=1  即$x=\frac{1}{2}$．
∵曲线C₂：ρ=2cosθ，两边都乘上ρ，可得ρ²=2ρcosθ．
∴x²+y²=2x．
（2）将极坐标方程化为普通方程为$x=\frac{1}{2}$与x²+y²=2x，
联立方程组成方程组求出两交点的坐标$（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$和$（\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
故弦长=$|-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}|$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、圆与圆的相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．