题目内容

15.已知在极坐标系中,曲线C1:2ρcosθ=1与曲线C2:ρ=2cosθ,
(1)求出曲线C1与曲线C2的直角坐标方程;
(2)求出曲线C1与曲线C2的相交的弦长.

分析 (1)利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可得出;
(2)曲线C1与曲线C2的方程联立解出交点坐标即可得出.

解答 解:(1)∵曲线C1:2ρcosθ=1,
∴2x=1  即$x=\frac{1}{2}$.
∵曲线C2:ρ=2cosθ,两边都乘上ρ,可得ρ2=2ρcosθ.
∴x2+y2=2x.
(2)将极坐标方程化为普通方程为$x=\frac{1}{2}$与x2+y2=2x,
联立方程组成方程组求出两交点的坐标$(\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2})$和$(\frac{1}{2},-\frac{{\sqrt{3}}}{2})$,
故弦长=$|-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}|$=$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、圆与圆的相交弦长问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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