Question

【题目】已知函数f（x）＝x2ex﹣b，其中b∈R．

（Ⅰ）证明：对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（I）利用导数求得函数的最大值和最小值，利用最大值减去最小值来证得不等式成立.（II）当和时，由解析式判断零点的个数.当时，根据最大值进行分类，得出零点个数.

解：（Ⅰ）f（x）的定义域R，且f′（x）＝x（x+2）ex，

令f′（x）＝0则x1＝0，或x2＝﹣2，

f′（x）＝x（x+2）ex，

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，0）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	增函数	极大值	减函数

∴f（x）在区间（﹣∞，0]上的最大值为；f（﹣2）b，

∵x∈（﹣∞，0]，∴f（x）＝x2ex﹣b≥﹣b，

∴f（x）的最小值为：﹣b，

∴对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）≤f（x）最大值﹣f（x）；

（Ⅱ）f′（x）＝x（x+2）ex，函数f（x）＝x2ex﹣b，

当b＜0时，函数f（x）＝x2ex﹣b＞0恒成立，函数f（x）的零点个数为：0

当b＝0时，函数f（x）＝x2ex，函数f（x）的零点个数为：1

当b时，函数f（x）的零点个数为；2，

当0＜b时，函数f（x）的零点个数为：3，

当b时，函数f（x）的零点个数为：1，