Question

7．如图在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，两底面均为正方形，AB=AA₁=2A₁B₁．
（1）证明：CC₁∥平面A₁BD．
（2）在线段CC₁上是否存在一点P，使得AP⊥平面A₁BD，若存在，求$\frac{CP}{P{C}_{1}}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交BD于O，连结A₁O，连结A₁C₁，由已知得OCC₁A₁是平行四边形，从而A₁C∥C₁C，由此能证明CC₁∥平面A₁BD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段CC₁上存在一点P，使得AP⊥平面A₁BD，且$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=2．

解答 证明：（1）连结AC，交BD于O，连结A₁O，连结A₁C₁，
∵在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，两底面均为正方形，AB=AA₁=2A₁B₁，
∴A₁C₁∥OC，且A₁C₁OC，
∴OCC₁A₁是平行四边形，∴A₁C∥C₁C，
∵CC₁?平面A₁BD，OA₁?平面A₁BD，
∴CC₁∥平面A₁BD．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
假设线段CC₁上是否存在一点P（a，b，c），使得AP⊥平面A₁BD，且$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=λ，
设AB=AA₁=2A₁B₁=2，
则A（0，0，0），C（2，2，0），C₁（1，1，2），
$\overrightarrow{CP}$=（a-2，b-2，c），$\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（1-a，1-b，2-c），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=λ（1-a）}\\{b-2=λ（1-b）}\\{c=λ（2-c）}\end{array}\right.$，∴P（$\frac{λ+2}{λ+1}$，$\frac{λ+2}{λ+1}$，$\frac{2λ}{λ+1}$），
A₁（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{λ+2}{λ+1}$，$\frac{λ+2}{λ+1}$，$\frac{2λ}{λ+1}$），
∵AP⊥平面A₁BD，
∴2×$\frac{λ+2}{λ+1}$-2×$\frac{2λ}{λ+1}$=0，解得λ=2，
∴在线段CC₁上存在一点P，使得AP⊥平面A₁BD，且$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=2．

点评 本题考查线面平行的证明，考查在直线上是否存在使得线面垂直的点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．