Question

19．化简：$\frac{1+3tanθ}{2cos2θ+sin2θ-1}$-$\frac{3+5tanθ}{cos2θ-4sin2θ-4}$．

Answer 1

分析 将tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$，cos2θ=1-sin²θ，sin2θ=2sinθcosθ，代入原式，再对两式的分母进行因式分解并约分，最后通分即可得到结果．

解答 解：∵tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$，cos2θ=1-sin²θ，sin2θ=2sinθcosθ，
∴原式=$\frac{1+3•\frac{sinθ}{cosθ}}{2（1-2sin^2θ）+2sinθcosθ-1}$-$\frac{3+5•\frac{sinθ}{cosθ}}{1-2sin^2θ-8sinθcosθ-4}$
=$\frac{\frac{cosθ+3sinθ}{cosθ}}{cos^2θ+2sinθcosθ-3sin^2θ}$+$\frac{\frac{3cosθ+5sinθ}{cosθ}}{3cos^2θ+8sinθcosθ+5sin^2θ}$
=$\frac{cosθ+3sinθ}{cosθ•[（cosθ+3sinθ）（cosθ-sinθ）]}$+$\frac{3cosθ+5sinθ}{cosθ•[（3cosθ+5sinθ）（cosθ+sinθ）]}$
=$\frac{1}{cosθ}$[$\frac{1}{cosθ-sinθ}$+$\frac{1}{cosθ+sinθ}$]
=$\frac{1}{cosθ}$•$\frac{2cosθ}{cos^2θ-sin^2θ}$
=$\frac{2}{cos2θ}$．
因此，原式=$\frac{2}{cos2θ}$．

点评 本题主要考查了三角函数中恒等变换的应用，涉及同角三角函数的基本关系式，倍角公式，属于中档题．