Question

18．设$\overrightarrow{OA}$=（1，1），$\overrightarrow{OB}$=（3，0），$\overrightarrow{OC}$=（3，5）其中O为坐标原点．
（1）求证：$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）对于向量$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），定义一种运算：将x₁y₁-x₂y₂的绝对值记为f（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$），试计算f（$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$）的值．

Answer 1

分析 （1）计算$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0即可；
（2）求出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的模，即三角形的两个直角边，代入面积公式计算；
（3）依据新定义计算即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$=（1，1），$\overrightarrow{OB}$=（3，0），$\overrightarrow{OC}$=（3，5），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=（2，-1），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（2，4）．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2×2-1×4=0，∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$．
（2）$\overrightarrow{|AB|}$=$\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{|AC|}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=5．
（3）f（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$）=|2×2-（-1）×4|=8．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算及新定义运算，属于基础题．