题目内容
12.(1)已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线的向量,若$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$,求证:A,B,D三点共线.(2)已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$,求x+y的值.
分析 (1)证明$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}$共线即可;
(2)由A,B,P三点共线可知$\overrightarrow{AP},\overrightarrow{BP}$共线,列出方程组整理出x+y.
解答 解:(1)∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$,∴A,B,D三点共线.
(2)$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=(x-1)$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$=x$\overrightarrow{OA}$+(y-1)$\overrightarrow{OB}$,
∵A,B,P三点共线,
∴?非零λ∈R使得$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{BP}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=λx}\\{y=λ(y-1)}\end{array}\right.$,解得λ=$\frac{x-1}{x}=\frac{y}{y-1}$,
∴(x-1)(y-1)=xy,整理得x+y=1.
点评 本题考查了平面向量的共线定理及其应用,用基向量表示出要证的共线向量是关键.
A. | [2kπ-π,2kπ],k∈Z | B. | [2kπ,2kπ+π],k∈Z | ||
C. | [kπ-$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{π}{6}$],k∈Z | D. | [kπ+$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{2}{3}$π],k∈Z |