Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B是边长为2的正方形，点C在平面AA₁B₁B上的射影H恰好为A₁B的中点，且CH=

3

，设D为CC₁中点，
（Ⅰ）求证：CC₁⊥平面A₁B₁D；
（Ⅱ）求DH与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：方法一：常规解法
（I）由已知中，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B是边长为2的正方形，易得CC₁⊥A₁B₁，取A₁B₁中点E，可证出DE⊥CC₁，结合线面垂直的判定定理可得CC₁⊥平面A₁B₁D；
（II）取AA₁中点F，连CF，作HK⊥CF于K，结合（I）的结论，我们可得DH与平面AA₁C₁C所成角为∠HDK，解Rt△CFH与Rt△DHK，即可得到DH与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．
方法二：向量法
（I）以H为原点，建立空间直角坐标系，分别求出向量

CC1

，

A1D

，

B1D

的坐标，根据坐标的数量积为0，易得到CC₁⊥A₁D，CC₁⊥B₁D，进而根据线面垂直的判定定理得到CC₁⊥平面A₁B₁D；
（II）求出直线DH的方向向量及平面AA₁C₁C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出DH与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

解答：证明：方法一：（Ⅰ）因为CC₁∥AA₁且正方形中AA₁⊥A₁B₁，所以CC₁⊥A₁B₁，

取A₁B₁中点E，则HE∥BB₁∥CC₁且HE=

1

2

BB1=

1

2

CC1，又D为CC₁的中点，
所以HE

∥ .

.

CD，得平行四边形HEDC，
因此CH∥DE，又CH⊥平面AA₁B₁B，
得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC₁∴CC₁⊥平面A₁B₁D（6分）
解：（Ⅱ）取AA₁中点F，连CF，作HK⊥CF于K
因为CH∥DE，CF∥A₁D，所以平面CFH∥平面A₁B₁D，由（Ⅰ）得CC₁⊥平面A₁B₁D，
所以CC₁⊥平面CFH，又HK?平面CFH，所以HK⊥CC₁，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA₁C₁C，所以DH与平面AA₁C₁C所成角为∠HDK（10分）
在Rt△CFH中，CF=

3+1

=2，KH=

3

2

在Rt△DHK中，由于DH=2，sin∠HDK=

KH

DH

=

3

4

（14分）

方法二：（向量法）
证明：（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，

3

），C₁（

2

，

2

，

3

），A₁（

2

，0，0），B₁（0，

2

，0），
所以

CC1

=(

2

，

2

，0)，

A1D

=(-

2

2

，

2

2

，

3

)，

B1D

=(

2

2

，-

2

2

，

3

)
∴

CC1

•

A1D

=0，

CC1

•

B1D

=0，
因此CC₁⊥平面A₁B₁D；（6分）
解：（Ⅱ）设平面AA₁C₁C的法向量

n

=(1，x，y)，由于

AA1

=(

2

，

2

，0)，

A1C

=(-

2

，0，

3

)
则

n

•

AA1

=

2

+

2

x=0，

n

•

A1C

=-

2

+

3

y=0
得x=-1，y=

6

3

，所以

n

=(1，-1，

6

3

)（10分）
又

HD

=(

2

2

，

2

2

，

3

)，所以sinθ=

| HD • n |

| HD |•| n |

=

2

2• 2 6 3

=

3

4

（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中方法一的关键是熟练掌握空间直线与平面关系的判定、性质及定义，方法二的关键是建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角的问题．