Question

14．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，且|AB|=$\frac{16}{3}$，则该抛物线的标准方程为y²=4x．

Answer 1

分析 首先，写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解p，即可求出抛物线的标准方程．

解答 解：设直线与抛物线的交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵抛物线y²=2px（p＞0），
∴它的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），
∵直线l倾斜角为60°，
∴直线l的方程为：y-0=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），即y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$）．
代入抛物线的方程，可得3x²-5px+$\frac{3}{4}$p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5p}{3}$
∵|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$，|BF|=x₂+$\frac{p}{2}$，
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{8p}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴p=2
∴抛物线的标准方程为y²=4x．
故答案为：y²=4x．

点评 本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．