Question

15．我们称函数f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$为“囧函数”，下列是关于“囧函数”的四个命题：
①?x∈（1，+∞），f（x）＞1；
②?x₁，x₂∈（1，+∞），$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≥0；
③命题p：函数f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的图象为轴对称图形，命题q：函数f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的图象存在对称中心；则（￢p）∨q为真命题；
④已知0＜m＜1，若“?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（m，1），使得f（x₁）=-f（x₂）”为真命题，则m的最大值为$\frac{1}{2}$．
其中的真命题有①④．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的图象，数形结合逐一分析四个结合的真假，可得答案．

解答 解：函数f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的图象如下图所示：

由图可得：
函数在（1，+∞）是值域为：（1，+∞），即?x∈（1，+∞），f（x）＞1，故①正确；
函数在（1，+∞）为减函数，即?x₁，x₂∈（1，+∞），$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，故②错误；
函数f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的图象关于y轴对称，故命题p为真命题，函数f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的图象不存在对称中心，故命题q为假命题；
则（￢p）∨q为假命题，故③错误；
?x₁∈（1，+∞），f（x₁）∈（1，+∞），
若?x₂∈（m，1），使得f（x₁）=-f（x₂），
则f（x₂）∈（-∞，-1），
则m≤$\frac{1}{2}$，即m的最大值为$\frac{1}{2}$，故④正确．
故真命题有：①④，
故答案为：①④

点评 本题以命题的真假判断为载体考查了函数f（x）=$\frac{|x|}{|x|-1}$的图象和性质，难度中档．