Question

14．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：
①f（x）=x²；   ②f（x）=2^x；    ③f（x）=$\sqrt{x}$；    ④f（x）=lnx．
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为①③．

Answer 1

分析 根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判断四个函数，即可得到结论．

解答 解：由等比数列性质知a_n•a_n+2=a_n+1²，
①当f（x）=x²时，f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故①正确；
②当f（x）=2^x时，f（a_n）f（a_n+2）=2^a_n•2^a_n+2=2^a_n+a_n+2≠2^2a_n+1=f²（a_n+1），故②不正确；
③当f（x）=$\sqrt{x}$时，f（a_n）f（a_n+2）=$\sqrt{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\sqrt{{{a}_{n+1}}^{2}}$=f²（a_n+1），故③正确；
④f（a_n）f（a_n+2）=ln（a_n）•ln（a_n+2）≠ln（a_n+1）²=f²（a_n+1），故④不正确；
故答案为：①③

点评 本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键