题目内容

【题目】已知某四面体的六条棱长分别为3,3,2,2,2,2,则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为( )

A. 0B. C. 0或D. 以上都不对

【答案】B

【解析】

当较长的两条棱是四面体相对的棱时,根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾,得此种情况不存在;当它们是四面体相邻的棱时,根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值,由此可得正确答案.

①当较长的两条棱是四面体相对的棱时,

如图,

CD中点E,则

∵等腰BCD中,中线BECD,等腰ACD中,中线AECD

AEBE是平面ABE内的相交直线

CD⊥平面ABE,结合AB平面ABE,可得ABCD

此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°0

检验:此时ABE中,AEBE,不满足AE+BEAB

故此种情况舍去;

②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时,如图

设所成的角为θ,根据余弦定理得cosθ

综上所述,得所求余弦值为

故选B.

练习册系列答案
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试题解析】

(Ⅰ)

,则.

,∴上单调递增,

从而得上单调递增,又∵

∴当时, ,当时,

因此, 的单调增区间为,单调减区间为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得上单调递减,在上单调递增,

由此可知.

.

.

∵当时, ,∴上单调递增.

又∵,∴当时, ;当时, .

①当时, ,即,这时,

②当时, ,即,这时, .

综上, 上的最大值为:当时,

时, .

[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.

型】解答
束】
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