Question

在直角坐标系中，动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点的轨迹为，是动圆上一点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设曲线上的三点与点的距离成等差数列，若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率；
（3）若直线与和动圆均只有一个公共点，求、两点的距离的最大值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

本试题主要考查了轨迹方程的求解和椭圆的定义，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
解：（1）由已知，得，…………………………1分.
将两边平方，并化简得，     …………………………3分.
故轨迹C₁的方程是。              ………………4分.
（2）由已知可得，，，
因为2|BF|=|AF|=|CF|，所以
即得，  ①                          …………………………5分.
故线段AC的中点为，其垂直平分线方程为， ②
…………………………6分.
因为A,C在椭圆上，故有，，两式相减，
得：   ③
将①代入③，化简得，   ④ ………………………7分.
将④代入②，并令y=0得，x=1/2，即T的坐标为(1/2,0)。………………………8分.
所以.                            ………………………9分.
设、，直线的方程为
因为P既在椭圆C₁上又在直线上，从而有
将（1）代入（2）得        ………10分.
由于直线PQ与椭圆C₁相切，故
从而可得，            （3）
同理，由Q既在圆上又在直线上，可得
，                 （4）……………………12分
由（3）、（4）得，
所以 ……………………13分.
即，当且仅当时取等号，
故P,Q、两点的距离的最大值. …………………………14分.