Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣a|+5x．
（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；
（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，
故|x+1|≤3，
故﹣4≤x≤2，
故不等式f（x）≤5x+3的解集为[﹣4，2]；
（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，
故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，
即|x﹣a|≥﹣5x，
即（x﹣a）2≥25x2 ，
即（x﹣a﹣5x）（x﹣a+5x）≥0，
即（4x+a）（6x﹣a）≤0，
当a=0时，解4x×6x≤0得x=0，不成立；
当a＞0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，
﹣≤x≤，
故只需使﹣≤﹣1，
解得，a≥4；
当a＜0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，
≤x≤﹣，
故只需使≤﹣1，
解得，a≤﹣6；
综上所述，a的取值范围为a≥4或a≤﹣6．
【解析】（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，从而解得；
（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，从而转化为故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，从而化简可得（4x+a）（6x﹣a）≤0，从而分类讨论解得．