题目内容

已知偶函数在R上的任一取值都有导数,且则曲线处的切线的斜率为     (  )
A.2B.-2C.1D.-1
D

试题分析:由f(x)在R上可导,对f(x+2)=f(x-2)两边求导得:
f′(x+2)(x+2)′=f′(x-2)(x-2)′,即f′(x+2)=f′(x-2)①,
由f(x)为偶函数,得到f(-x)=f(x),
故f′(-x)(-x)′=f′(x),即f′(-x)=-f′(x)②,
则f′(x+2+2)=f′(x+2-2),即f′(x+4)=f′(x),
所以f′(-5)=f′(-1)=-f′(1)=-1,即所求切线的斜率为-1.
故选D。
点评:中档题,本题解答充分借助于已知等式,通过两边求导数,确定得到函数导数值关系,进一步将切线斜率转化成求函数的导数值。
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