Question

2．已知方程${x^2}+\frac{x}{tanθ}-\frac{1}{sinθ}=0$有两个不等实根a，b，则过点A（a，a²），B（b，b²）的直线与圆x²+y²=2的位置关系是相交．

Answer 1

分析 表示出直线AB解析式，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，比较d与r的大小即可做出判断．

解答 解：由题设知，${k_{AB}}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a-b}=a+b$，
∴过A，B两点的直线方程为：y-a²=（a+b）（x-a），即（a+b）x-y-ab=0，
∴圆心（0，0）到直线AB的距离为$d=\frac{{|{ab}|}}{{\sqrt{{{（a+b）}^2}+1}}}$，
又由题设知，$a+b=-\frac{1}{tanθ}，ab=-\frac{1}{sinθ}$，
∴$d=\frac{{|{\frac{1}{sinθ}}|}}{{\sqrt{\frac{1}{{{{tan}^2}θ}}+1}}}=\frac{{|{\frac{1}{sinθ}}|}}{{\sqrt{\frac{{{{cos}^2}θ+{{sin}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ}}}}}=\frac{{|{\frac{1}{sinθ}}|}}{{|{\frac{1}{sinθ}}|}}=1＜\sqrt{2}=r$，
故直线与圆相交．
故答案为：相交．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及直线的两点式方程，弄清题意是解本题的关键．