题目内容
已知函数,,.
(1)若函数在区间上不是单调函数,试求的取值范围;
(2)直接写出(不需要给出演算步骤)函数的单调递增区间;
(3)如果存在,使函数,在处取得最小值,试求的最大值.
(1)若函数在区间上不是单调函数,试求的取值范围;
(2)直接写出(不需要给出演算步骤)函数的单调递增区间;
(3)如果存在,使函数,在处取得最小值,试求的最大值.
(1). (2)时,增区间为;当时,增区间为.(3)的最大值为,此时唯有符合题意.
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。根据函数在给定区间的单调性,求解参数的取值范围,以及能利用导数的符号与单调性的关系,求解函数的单调区间,并能求解给定函数在区间的最值问题的综合运用。
(1)首先要是函数在给定区间单调递增,则说明导函数恒大于等于零。分离参数求解参数的取值范围。如果不单调,则说明导函数在给定区间内有不重复的零点即可。
(2)利用给定的函数分析a的范围,分别讨论得到单调区间。
(3)要研究不等式在给定区间恒成立问题,可以构造函数研究函数的最值即可来得到。
(1)法一:由题意知,在区间内有不重复的零点.
故只需满足:,即∴
法二:由题意知,在区间内有不重复的零点.
由 ,得 ,∵ , ∴ .
令,则,故在区间上是增函数,其值域为,从而的取值范围为. ………… 4分
(2)当时,不存在增区间;当时,增区间为;
当时,增区间为;当时,增区间为. 8分
(3),据题意知,在区间上恒成立,即 ①
当时,不等式①恒成立;
当时,不等式①可化为 ②
令,由于二次函数的图象是开口向下的抛物线,故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得,又,
∴ 不等式②恒成立的充要条件是, ………… 10分
即,亦即 ,
∵ 这个关于的不等式在区间上有解
∴ ,即 ,,
解得 ,又,
故,从而的最大值为,此时唯有符合题意
(1)首先要是函数在给定区间单调递增,则说明导函数恒大于等于零。分离参数求解参数的取值范围。如果不单调,则说明导函数在给定区间内有不重复的零点即可。
(2)利用给定的函数分析a的范围,分别讨论得到单调区间。
(3)要研究不等式在给定区间恒成立问题,可以构造函数研究函数的最值即可来得到。
(1)法一:由题意知,在区间内有不重复的零点.
故只需满足:,即∴
法二:由题意知,在区间内有不重复的零点.
由 ,得 ,∵ , ∴ .
令,则,故在区间上是增函数,其值域为,从而的取值范围为. ………… 4分
(2)当时,不存在增区间;当时,增区间为;
当时,增区间为;当时,增区间为. 8分
(3),据题意知,在区间上恒成立,即 ①
当时,不等式①恒成立;
当时,不等式①可化为 ②
令,由于二次函数的图象是开口向下的抛物线,故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得,又,
∴ 不等式②恒成立的充要条件是, ………… 10分
即,亦即 ,
∵ 这个关于的不等式在区间上有解
∴ ,即 ,,
解得 ,又,
故,从而的最大值为,此时唯有符合题意
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