Question

已知函数．
（I）判断函数在上的单调性（为自然对数的底）；
（II）记为的导函数，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围。

Answer 1

（I）若,当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
若,则,函数在上单调递减.
（II） 。

本试题主要是考查了导数的在研究函数中的运用。判定函数单调区间，以及函数的极值问题的综合运用
（1）由已知函数得到导函数，然后对于参数a分类讨论得到其单调区间，注意讨论的完备性。
（2）要是函数在给定区间存在极值，说明了导数值为零的点在该点左右两侧函数值异号，那么借助于概念分析求解。
解：（I）       …………1分
若,当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，…………5分
若,则,函数在上单调递减.               …………7分
（II） ，  ， …………8分
方法一：函数在区间上存在极值
等价为关于方程在上有变号实根
……11分       在上单调递减，在上单调递增。
        …………14分
当时，，不存在极值  ……15分
方法二：  等价为关于方程在上有变号实根。
⑴  关于方程在上有两个不相等实数根；
                …………10分
⑵关于方程在上有一个实数根；
                  …………12分
时，的解为
符合题意           …………13分
当时，的解为
均不符合题意 (舍)………14分   综上所述，．………15分