题目内容

【题目】如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.

(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ
(2)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.

【答案】
(1)证明:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz;

依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0);

=(1,1,0), =(0,0,1), =(1,﹣1,0),

所以 =0, =0;

即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,

故PQ⊥平面DCQ,

又PQ平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ;


(2)解:依题意,有B(1,0,1),

=(1,0,0), =(﹣1,2,﹣1);

=(x,y,z)是平面的PBC法向量,

因此可取 =(0,﹣1,﹣2);

是平面PBQ的法向量,则

可取 =(1,1,1),

所以cos< >=﹣

故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣


【解析】首先根据题意以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz;(1)根据坐标系,求出 的坐标,由向量积的运算易得 =0, =0;进而可得PQ⊥DQ,PQ⊥DC,由面面垂直的判定方法,可得证明;(2)依题意结合坐标系,可得B、 的坐标,进而求出平面的PBC的法向量 与平面PBQ法向量 ,进而求出cos< >,根据二面角与其法向量夹角的关系,可得答案.
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定和向量语言表述面面的垂直、平行关系,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直;若平面的法向量为,平面的法向量为,要证,只需证,即证;要证,只需证,即证即可以解答此题.

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