题目内容

【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE= BB1 , C1F= CC1

(1)求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值;
(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,且设 = ,求λ的值.

【答案】
(1)解:在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE= BB1,C1F= CC1

∴建立以A为坐标原点,AB,AC,AA1分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:

则A(0,0,0),A1(0,0,6),B(2,0,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,2,4),

=(2,0,2), =(0,2,4),

设平面AEF的法向量为 =(x,y,z)

令z=1.则x=﹣1,y=﹣2,

=(﹣1,﹣2,1),

平面ABC的法向量为 =(0,0,1),

则cos< >= = =

即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是


(2)解:若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,

则G(1,1,0),

=

= =λ(1,1,﹣6)=(λ,λ,﹣6λ),

= + =(λ,λ,6﹣6λ)

∵A,E,F,H四点共面,

∴设 =x +y

即(λ,λ,6﹣6λ)=x(2,0,2)+y(0,2,4),

,得λ= ,x=y=

故λ的值为


【解析】(1)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可.(2)利用四点共面, =x +y ,建立方程关系进行求解即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解棱柱的结构特征(两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形).

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