Question

15．某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．
（I）试估计该校数学的平均成绩；
（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．
附：若 X～N（μ，σ²），则P（u-3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）根据频率和为1，求出成绩在[120，130）的频率，再计算这组数据的平均数；
（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的学生有50×（0.12+0.08）=10，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，计算期望值．

解答 解：（1）由频率分布直方图可知[120，130）的频率为1-（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=0.12
所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112
（2）由于$\frac{13}{10000}=0.0013$根据正态分布：P（120-3×5＜X＜120+3×5）=0.9974
故$P（X≥135）=\frac{1-0.9974}{2}=0.0013，即0.0013×10000=13$
所以前13名的成绩全部在135分以上
根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的学生有50×（0.12+0.08）=10
所以X的取值为0，1，2，3．
所以P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$；
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

数学期望值为EX=0×$\frac{1}{6}$+1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{30}$=1.2．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目．