题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,侧面
是菱形,且
,平面
平面
,
,
,O为
的中点.
(1)求证:
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接,
,通过证明
、
,证得
平面
,从而证得
.
(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面
的法向量,计算二面角
的余弦值.
(1)如图,连接,
,在矩形
中,
,O为
的中点,所以三角形
和三角形
为等腰直角三角形,所以
.
因为,
,所以
为正三角形,
又O为的中点,所以
,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
C.
又平面
,所以
,又
,
所以平面
,
又平面
,
所以.
(2)取的中点E,连接OE,则
,所以OA,OB,OE两两垂直,
如图,以O为坐标原点,分别以,
,
为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则0,
,
0,
,
0,
,
,
0,
,
,
,
0,
.
设平面OBC的法向量为y,
,则
,即
,
令,得
0,
是平面OBC的一个法向量,
同理可求得平面的一个法向量为
1,
,
则,
,
由图知二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为
.

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