题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,侧面是菱形,且,平面平面,,,O为的中点.
(1)求证:
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接,,通过证明、,证得平面,从而证得.
(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算二面角的余弦值.
(1)如图,连接,,在矩形中,,O为的中点,所以三角形和三角形为等腰直角三角形,所以.
因为,,所以为正三角形,
又O为的中点,所以,
又平面平面,平面平面,
平面,
所以平面C.
又平面,所以,又,
所以平面,
又平面,
所以.
(2)取的中点E,连接OE,则,所以OA,OB,OE两两垂直,
如图,以O为坐标原点,分别以,,为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则0,,0,,0,,,
0,,,,0,.
设平面OBC的法向量为y,,则,即,
令,得0,是平面OBC的一个法向量,
同理可求得平面的一个法向量为1,,
则,,
由图知二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
练习册系列答案
相关题目