题目内容
【题目】某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程
近似地服从正态分布
，经计算第（1）问中样本标准差
的近似值为50。用样本平均数
作为
的近似值，用样本标准差作为
的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布
，则
，
，
.
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元。已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次。若掷出正面，遥控车向前移动一格（从
到
）若掷出反面遥控车向前移动两格（从到
），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为P试证明
是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值。
【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）证明见解析，期望值为
，约2万元.
【解析】
0000
(1)利用每组中点值乘以其频率,再求和即可得到平均值；
(2)由(1)可知
，利用
求解即可；
(3)根据题意可知：得出移到第n格两种方式①遥控车先到第
格，又掷出反面；②遥控车先到第
格，又掷出正面，由此得到
，利用定义证明其为等比数列，结合累加法得出
的表达式，由此得到
，
，根据题意得出参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为
万元，
或0，分别求出或0的概率，然后求出期望即可.
（1）
（千米）
（2）因为服从正态分布
所以
（3）遥控车开始在第0格为必然事件，
，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为
,即
。遥控车移到第n（
）格的情况是下列两种，而且也只有两种。
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为
所以，
当
时，数列
是公比为
的等比数列
以上各式相加，得
（
）， 获胜的概率
失败的概率
设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0
X的期望
参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约2万元.
