Question

2．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标是（0，$\frac{1}{2}$），直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求点M与圆C的位置关系；
（Ⅱ）若直线l与圆C的交点为P，Q，求|MP|•|MQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆C的极坐标方程ρ=2cosθ即ρ²=2ρcosθ，化为直角坐标方程可得圆心与半径，利用两点之间的距离公式可得圆心与点的距离，即可判断出位置关系．
（Ⅱ）由直线l的参数方程代入圆C的普通方程可得${t}^{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}t+\frac{1}{4}$=0，即可得出|MP|•|MQ|=|t₁t₂|．

解答 解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程ρ=2cosθ即ρ²=2ρcosθ，
∴圆C的普通方程为（x-1）²+y²=1，
又∵点M的坐标是（0，$\frac{1}{2}$），
∴|MC|=$\sqrt{（0-1）^{2}+（\frac{1}{2}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$＞1，
∴点M在圆C外．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
代入圆C的普通方程（x-1）²+y²=1，得${t}^{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}t+\frac{1}{4}$=0，
∴t₁t₂=$\frac{1}{4}$，
∴|MP|•|MQ|=|t₁t₂|=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式、点与圆的位置关系、直线参数及其应用、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．